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群的定义群的分类群的证明方法交换群的证明方法数集回顾群的证明
群的定义
群 的 定义 : 一个 非空 集合
G
G
G 中 , 如果 定义了 一个 “乘法” 运算 , 满足以下 四个 性质 , 那么 该 非空集合
G
G
G 称为 群 ;
1. 封闭性 :
1> 符号表示 :
∀
a
,
b
∈
G
,
a
×
b
=
c
∈
G
\forall a,b \in G , a \times b = c \in G
∀a,b∈G,a×b=c∈G2> 自然语言描述 : 非空集合
G
G
G 中任意两个元素
a
,
b
a,b
a,b 相乘, 其结果
c
c
c 也是 集合
G
G
G 中的元素 ; 2. 结合律 :
符号表示 :
∀
a
,
b
,
c
∈
G
,
a
×
(
b
×
c
)
=
(
a
×
b
)
×
c
\forall a,b, c \in G , a \times ( b \times c ) = (a \times b) \times c
∀a,b,c∈G,a×(b×c)=(a×b)×c ; 3. 有单位元 :
1> 符号表示 :
∃
e
∈
G
,
∀
a
∈
G
,
e
×
a
=
a
×
e
=
a
\exist e \in G, \forall a \in G, e \times a = a\times e = a
∃e∈G,∀a∈G,e×a=a×e=a2> 自然语言描述 : 存在一个
e
e
e , 乘以
a
a
a , 或者 与
a
a
a 相乘 , 其结果都是
a
a
a , 相当于
1
1
1 ; 4. 每个元
a
a
a 有逆元
a
−
1
a^{-1}
a−1 :
1> 符号表示 :
∃
e
∈
G
,
∀
a
∈
G
,
∃
a
−
1
∈
G
,
a
−
1
×
a
=
a
×
a
−
1
=
e
\exist e \in G, \forall a \in G, \exist a^{-1} \in G, a^{-1} \times a = a \times a^{-1} = e
∃e∈G,∀a∈G,∃a−1∈G,a−1×a=a×a−1=e ,2> 自然语言描述 :
e
e
e 是之前的 单位元 ( 类似于
1
1
1 ) ,
a
a
a 与
a
a
a 的逆 相乘 , 结果是单位元
e
e
e ;
注意 : 这个 “乘法” 是指集合中元素的 “乘法” , 即 集合中元素的 二元运算 ;
G
×
G
G \times G
G×G 构成代数结构可以表示成
(
G
,
⋅
)
( G , \cdot )
(G,⋅)
群的分类
群 的 分类 :
1.交换群 ( Abel 群 ) : 交换律 成立的 群 , 称为 交换群 或 Abel 群 ;2.非交换群 ( 非 Abel 群 ) : 交换律 不成立的 群 , 称为 非交换群 或 非 Abel 群 ;3.群 的 阶 : 群
G
G
G 含有的元素个数叫群的阶 , 记做
∣
G
∣
|G|
∣G∣ ;4.有限群 :
∣
G
∣
|G|
∣G∣ 是 有限的 , 叫做 有限群 ;5.无限群 :
∣
G
∣
|G|
∣G∣ 是 无限的 , 叫做 无限群 ;
群的证明方法
群的证明方法 : 给定一个 集合
G
G
G 和 二元运算 , 证明该集合是群 ;
1.非空集合 : 首先说明 该集合是一个非空集合 ;2.证明封闭性 : 集合 中 任意两个元素 进行运算 得到的 第三个元素 必须也在 集合中 ;3.证明结合律 : 集合中
a
a
a 与
b
b
b 和
c
c
c 进行二元运算 , 其结果 与
a
a
a 和
b
b
b 与
c
c
c 进行运算结果相同 ;4.证明其有单位元 : 集合中存在一个
e
e
e 元素 ,
a
a
a 与
e
e
e 和
e
e
e 与
a
a
a 运算 结果都是
a
a
a ; 相当于乘法中的
1
1
1 或 加法中的
0
0
0 ;5.证明其逆元 :
a
a
a 与
a
−
1
a^{-1}
a−1 或者
a
−
1
a^{-1}
a−1 与
a
a
a 进行运算 , 其结果是
e
e
e 单位元 ;
满足以上
4
4
4 个条件 , 就可以证明 该集合 是一个 关于该运算的 群 ;
交换群的证明方法
在群的证明方法基础上 , 证明其交换律成立 ;
数集回顾
数集 及 表示方法 :
1.整数 :
Z
Z
Z , 所有整数组成的集合 , 称为 整数集 ;2.正整数 :
Z
+
,
N
∗
,
N
+
Z^+,N^*,N^+
Z+,N∗,N+ , 所有正整数组成的集合 , 称为正整数集 ;3.负整数 :
Z
−
Z^-
Z− , 所有负整数组成的集合 , 称为负整数集 ;4.非负整数 :
N
N
N , 所有非负整数组成的集合 , 称为非负整数集 ( 或 自然数集 ) ;5.有理数 :
Q
Q
Q , 全体有理数 组成的集合 , 称为有理数集 ;6.实数集 :
R
R
R , 全体实数组成的集合 , 称为实数集 ;7.虚数 :
I
I
I , 全体虚数组成的集合 , 称为虚数集 ;8.复数 :
C
C
C , 全体实数 和 虚数 组成的集合 , 称为复数集 ;
有理数 : 是由整数除法产生的 , 可以由分数表示 , 其小数部分为 有限 或 无限循环小数 ; 实数 : 无理数一般是由正整数开方产生 , 实数与数轴上的点一一对应 , 包含有理数 和 无理数 , 无理数是无限不循环小数 ; 虚数 : 虚数一般是平方是负数或根号内是负数产生 , 虚数分为实部 或 虚部 ;
数集中的常用上标 用法 :
1.正数 :
+
^+
+ 表示该数集中元素全为 正数 ;2.负数 :
−
^-
− 表示该数集中的元素全为 负数 ;3.剔除
0
0
0 元素 :
∗
^*
∗ 表示剔除该数集上的元素
0
0
0 ;
R
∗
R^*
R∗ 表示剔除 实数集
R
R
R 中的 元素
0
0
0 ,
R
∗
=
R
∖
{
0
}
=
R
−
∪
R
+
=
(
−
∞
,
0
)
∪
(
0
,
+
∞
)
R^* = R \setminus \{0\} = R^- \cup R^+ = (- \infty , 0) \cup (0,+ \infty)
R∗=R∖{0}=R−∪R+=(−∞,0)∪(0,+∞)
群的证明
题目 : 证明所有有理数 关于 乘法 构成一个群 ;
证明方法 : 给定一个 集合
G
G
G 和 二元运算 , 证明该集合是群 ;
1.非空集合 : 首先说明 该集合是一个非空集合 ;2.证明封闭性 : 集合 中 任意两个元素 进行运算 得到的 第三个元素 必须也在 集合中 ;3.证明结合律 : 集合中
a
a
a 与
b
b
b 和
c
c
c 进行二元运算 , 其结果 与
a
a
a 和
b
b
b 与
c
c
c 进行运算结果相同 ;4.证明其有单位元 : 集合中存在一个
e
e
e 元素 ,
a
a
a 与
e
e
e 和
e
e
e 与
a
a
a 运算 结果都是
a
a
a ; 相当于乘法中的
1
1
1 或 加法中的
0
0
0 ;5.证明其逆元 :
a
a
a 与
a
−
1
a^{-1}
a−1 或者
a
−
1
a^{-1}
a−1 与
a
a
a 进行运算 , 其结果是
e
e
e 单位元 ;
满足以上
4
4
4 个条件 , 就可以证明 该集合 是一个 关于该运算的 群 ;
证明 :
① 封闭性 : 有理数 相乘 肯定也是有理数 , 满足封闭性 ; ② 结合律 :
3
3
3 个 任意 有理数 相乘 , 显然也是 满足 结合律的 ; ③ 证明单位元 : 存在
e
=
1
e=1
e=1 , 有理数 乘以 1 或者 1 乘以 有理数 , 都等于该有理数 , 说明单位元存在 ; ④ 证明逆
a
−
1
a^{-1}
a−1 的存在 : 集合中的任意元素
a
a
a , 其
a
−
1
=
1
a
a^{-1} = \frac{1}{a}
a−1=a1 ,
a
−
1
×
a
=
a
×
a
−
1
=
e
=
1
a^{-1} \times a = a \times a^{-1} = e = 1
a−1×a=a×a−1=e=1 , 其逆元成立 ;
因此 有理数 关于 乘法 构成一个群 ;