软输出的举例
如图，对于BPSK，采样判决结果以0为门限，大于0则判为星座
+
A
+A
+A，小于0则判为
−
A
-A
−A 对于序列101101，第三个比特的符号由于噪声偏移到大于0的位置
硬判决：根据门限，直接将该符号判决为0（误判）软判决：输出后验概率
p
(
x
=
1
∣
y
)
p(x=1|y)
p(x=1∣y)，根据欧式距离，六个符号被判为1的概率分别是0.98，0.02，0.49，0.94，0.01，0.96，可见软判决不输出离散结果而是输出概率软输出的优点在于保留了有用信息，可配合纠正一些错误
例如假定我们使用奇偶校验码，硬判决输出100101时可以确定有一个比特出错，但是想要纠错是不可能的； 如果此时有软输出，我们查看对应的后验概率，就知道大概率是第三个比特出错，进而纠正 由此，上图Decoder输出正确结果101101
注意，上图仅考虑了信道编码，如果系统中还有信源编码，则上述Decoder可以继续输出软信息到下一级Decoder2，帮助下一级信源解码，如图所示 （Turbo码也是类似的两级软信息解码）
考虑更复杂的QPSK情况，推广为对于每个星座符号给出译码概率
上面描述的是逐符号输出软信息，此外还可以进行整个比特序列的软输出和检测，即BCJR算法、Soft Output Viterbi算法，其核心思想都是尽量避免过早的量化为0/1并丢弃信息，而是保留软信息直到最后一级解码
比特序列级的软检测：
BCJR算法（Bahl-Cocke-Jelinek-Raviv算法）：通过前向-后向递归计算，在网格图上计算每个比特的后验概率，用于Turbo码的解码迭代过程，是最优的后验概率估计Soft Output Viterbi算法（SOVA）：是Viterbi算法的改进版本，在保留最佳路径的同时，记录各比特的可靠性信息，通过路径度量差来计算软输出值，常用于级联编码系统的迭代解码，是次优的近似解
软判决的进一步介绍
卷积码的Viterbi译码、LDPC的译码，都有两种方式：硬判决（hard decision）与软判决（soft decision）
硬判决就是将信号波形与判决门限比较，数字解调器的输出（即后一级译码器的输入）只有0和1两种结果。 硬判决的依据是不同序列之间的汉明距离，适用于二进制对称信道（BSC）软判决中，数字解调器的输出（即后一级译码器的输入）不是0或1，而是对数似然比LLR（log-likelihood ratio），也即所谓的“软信息”（它提供了关于不同判决可靠性的额外概率信息，从而可以用于衡量判决的可靠性） 软判决的依据是不同序列之间的软距离/欧式距离，适用于离散无记忆信道(DMC)
硬判决与软判决的一个具体例子：从奇偶校验编码来描述硬判决和软判决的区别
并且，和硬判决不同的是，软判决的信号检测有两个主要部分：
信号检测器，其输出是一个软判决值(LLR) ps. “检测”就是对频率选择性信道所引入的ISI进行补偿，特别的，线性方式的检测也成为“均衡”软输入软输出(SISO)信道解码器，此模块应用了LLR中的软信息，从而相较于硬判决提供了增益
对数似然比LLR
考虑BPSK调制（0->+1，1->-1），则符号
X
\boldsymbol{X}
X的对数似然比LLR
Λ
(
X
)
\Lambda(\boldsymbol{X})
Λ(X)可以通过后验概率APP计算得到：
Λ
(
X
)
=
l
o
g
P
(
X
=
1
∣
Y
)
P
(
X
=
−
1
∣
Y
)
\Lambda(\boldsymbol{X})=log\frac{P(\boldsymbol{X}=1 \mid \boldsymbol{Y})}{P(\boldsymbol{X}=-1 \mid \boldsymbol{Y})}
Λ(X)=logP(X=−1∣Y)P(X=1∣Y)
为何要取对数？对数运算下，乘除法变加减法，从而方便比较分子和分母大小：
Λ
(
X
)
>
=
0
\Lambda(\boldsymbol{X})>=0
Λ(X)>=0说明
P
(
X
=
1
∣
Y
)
P(\boldsymbol{X}=1 \mid \boldsymbol{Y})
P(X=1∣Y)更大，
Λ
(
X
)
<
0
\Lambda(\boldsymbol{X})<0
Λ(X)<0说明
P
(
X
=
−
1
∣
Y
)
P(\boldsymbol{X}=-1 \mid \boldsymbol{Y})
P(X=−1∣Y)更大 则解码器可以将
Λ
(
X
)
\Lambda(\boldsymbol{X})
Λ(X)和0作比较，从而判决（LLR>=0->0，LLR<0->1)并且，
Λ
(
X
)
\Lambda(\boldsymbol{X})
Λ(X)的幅值带有一种概率信息，指示了判决估计的可靠程度（幅值越大，说明分子分母的差距越大）
软判决的准确性不是体现在其符号的正负，而是体现在其幅度是否能真实反映接收信号为比特1或是比特0的概率大小，进而被信道译码所利用
LLR的计算中，需要用到后验概率APP，而后验概率在一定前提下转化为欧氏距离的计算，因此我们说：硬判决下分支度量采用汉明距离，而软判决下分支度量采用欧式距离 推导过程类似上一篇文章的“从MAP到最小欧氏距离的等价推导”：
回顾：在一定前提下，MAP准则等价于最小欧式距离准则 接收到码字
X
\boldsymbol X
X时，判决时希望其后验概率APP(A Posteriori Probability)最大化，即最大后验概率准则MAP，MAP下码字的估计
X
^
\hat{\boldsymbol{X}}
X^为：
X
^
=
arg
max
X
p
X
∣
Y
(
X
∣
Y
)
\hat{\boldsymbol{X}} =\operatorname{arg} \max _{\boldsymbol{X}} p_{\boldsymbol{X} \mid \boldsymbol{Y}}(\boldsymbol{X} \mid \boldsymbol{Y})
X^=argXmaxpX∣Y(X∣Y) 所有码字等概发送时，MAP准则等价于最大似然准则ML：
X
^
=
arg
max
X
p
Y
∣
X
(
Y
∣
X
)
\hat{\boldsymbol{X}} =\arg \max _{\boldsymbol{X}} p_{\boldsymbol{Y} \mid \boldsymbol{X}}(\boldsymbol{Y} \mid \boldsymbol{X})
X^=argXmaxpY∣X(Y∣X) 当噪声为高斯分布，ML等价于最小二乘准则LS：
X
^
=
arg
max
X
∣
Y
−
H
{
s
(
X
)
}
∣
2
\hat{\boldsymbol{X}} =\operatorname{arg} \max _{\boldsymbol{X}}|\boldsymbol{Y}-H\{s(\boldsymbol{X})\}|^{2}
X^=argXmax∣Y−H{s(X)}∣2在符号的复平面上，这就最终转化为了最小欧式距离准则
最后注意，理论上LLR是一个模拟量，但实际中考虑到硬件问题，仍需要将LLR量化为有限电平
从量化角度理解，硬判决是一级量化（0或1两种电平量化），而软判决可认为多级量化（软判决输出的是模拟量，实现为多电平量化），因此软判决虽然更复杂，但性能优于硬判决（例如，软判决中采用3比特电平的量化，相较于硬判决能带来约2dB的性能增益）
LLR计算举例
参考：《MIMO-OFDM无线通信技术及MATLAB实现》的第11.7节
首先将格雷码16-QAM星座图拆分为四个比特位的星座图 将第
l
l
l位为1和0的符号集，分别记作
S
l
+
S_l^+
Sl+和
S
l
−
S_l^-
Sl− 对于第
l
l
l个比特位，计算其LLR表达式（分子分母为后验概率，取对数做比较）： 上面的计算，展示了LLR的计算是如何从后验概率的计算一步步化为欧式距离的计算的（但是已经变为Approximate LLR）
说明：LLR还分为Exact LLR（准确值）和Approximate LLR（近似处理结果，容易计算，但有精度损失） 公式（11.82）中，约等于号前后的两个式子，分别对应Exact LLR和Approximate LLR
最终，使用欧氏距离来判定LLR值：对每一个接收符号而言，其LLR就是在比较 [该符号到最近
S
l
+
S_l^+
Sl+元素的距离] 和 [该符号到最近
S
l
−
S_l^-
Sl−元素的距离]
refer: 《LTE/LTE advanced——UMTS 长期演进理论与实践》 移动通信基础（7）软判决 什么是hard decision &soft decision